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By Walter Schlee

In diesem Lehrbuch werden die grundlegenden Begriffe und Ergebnisse der Spieltheorie mit mathematischer Strenge dargestellt. In den Beispielen und Aufgaben mit Lösungen wird aufgezeigt, wie die Spieltheorie auf wirtschaftliche und allgemeine Probleme, die uns täglich begegnen, angewendet werden kann. Bei einigen Begriffen, die sich in der Literatur in verschiedenen Varianten finden, wird deren gegenseitige logische Abhängigkeit herausgearbeitet. Es werden die verschiedenen Darstellungen eines Spiels besprochen, das Nash-Gleichgewicht und Verfeinerungen definiert, nicht-kooperative und kooperative Spiele und large Spiele untersucht.

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4 Die gemischte Erweiterung eines endlichen Spieles hat mindestens ein Nash-Gleichgewicht. 6) Es wird nun eine Abbildung 1 : K ~ K konstruiert, die die konvexe und kompakte Menge K der gemischten Strategien aller Spieler in sich abbildet. Diese Abbildung 1 ist stetig auf K. Somit existiert nach dem Brouwerschen Fixpunktsatz ein Fixpunkt. Es kann gezeigt werden, dass dessen Existenz äquivalent mit der Existenz eines Nash-Gleichgewichts ist. 3) I(s) = (/11 (s), ... ,/lnl (s), . ,/ml(S), ... 6) I(s) liegt tatsächlich in K, wegen ~ ~1 j=l s~ + + if>ij(S) "ni ,I..

Gemischte Strategien sind damit echte Verallgemeinerungen der reinen Strategien. B. als Einheitsvektoren, dargestellt werden. Sie ist konvex und kompakt. Gemischte Strategien können so gedeutet werden, dass der i-te Spieler die auswählt. Ferner wird angek-te reine Strategie mit Wahrscheinlichkeit nommen, dass jeder Spieler (stochastisch) unabhängig von den anderen seine Strategie auswählt. Für die gemischte Erweiterung wird die A uszablung an den i-ten Spieler als Erwartungswert definiert. 17 Spielt jeder Spieler eine gemischte Strategie, dann wird die Auszahlung an den Spieler i festgesetzt durch: (;i(S) = (;i(sl, ...

Gemischte Strategien können so gedeutet werden, dass der i-te Spieler die auswählt. Ferner wird angek-te reine Strategie mit Wahrscheinlichkeit nommen, dass jeder Spieler (stochastisch) unabhängig von den anderen seine Strategie auswählt. Für die gemischte Erweiterung wird die A uszablung an den i-ten Spieler als Erwartungswert definiert. 17 Spielt jeder Spieler eine gemischte Strategie, dann wird die Auszahlung an den Spieler i festgesetzt durch: (;i(S) = (;i(sl, ... ,sm) = L L Ui(SJ1'·· . 20) k=l Wenn kein Zweifel besteht, dass es sich um eine Auszahlung bei gemischten Strategien handelt, verwenden wir auch die Bezeichnung Ui(s) statt (;i(s).

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